Równania wielomianowe w postaci iloczynowej - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji użyjesz zasady iloczynu równego zeru do równań wielomianowych. Nauczysz się rozpoznawać gotową postać iloczynową i doprowadzać do niej proste równania.

Na start

najpierw sprawdzasz, czy równanie ma postać iloczyn $=0$

gdy trzeba, rozkładasz wielomian na czynniki

rozwiązania biorą się z czynników, które mogą być zerem

Po tej lekcji:

rozwiążesz równania wielomianowe w postaci iloczynowej
rozłożysz proste wielomiany przez wyłączenie wspólnego czynnika
użyjesz różnicy kwadratów w równaniu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Równanie gotowe do rozwiązania

Równanie wielomianowe w postaci iloczynowej ma po jednej stronie iloczyn czynników, a po drugiej stronie zero. Wtedy nie trzeba wymnażać nawiasów.

Gotowe równanie iloczynowe rozbite na dwa proste równania.

$(x-1)(x+4)=0$

$x-1=0\ \Rightarrow\ x=1$

$x+4=0\ \Rightarrow\ x=-4$

Zapamiętaj

Jeśli równanie jest już iloczynem równym zero, nie wymnażaj nawiasów.

02WYJAŚNIENIE

Trzy czynniki dają trzy możliwe źródła zera

Jeśli iloczyn ma trzy czynniki, każdy z nich może wyzerować cały iloczyn. Rozwiązujesz więc trzy proste równania.

Trzy czynniki prowadzą do trzech przypadków i trzech punktów na osi liczbowej.

$x(x-2)(x+5)=0$

$x=0$

$x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

$x+5=0\ \Rightarrow\ x=-5$

PRZYKŁAD

Rozwiązanie

Rozwiązania najlepiej zapisać rosnąco: $x=-5$ , $x=0$ , $x=2$ .

03WYJAŚNIENIE

Najpierw wszystko na jedną stronę

Zasada działa wtedy, gdy iloczyn jest równy zero. Jeśli po prawej stronie stoi inna liczba, nie wolno od razu przyrównywać czynników do zera.

Porównanie równania z prawą stroną zero i równania z prawą stroną sześć.

$(x-1)(x+2)=0 \text{ — można rozbijać}$

$(x-1)(x+2)=6 \text{ — nie można od razu}$

Wskazówka

Iloczyn równy $6$ może powstać na wiele sposobów, więc żaden czynnik nie musi być zerem.

04WYJAŚNIENIE

Wyłączanie wspólnego czynnika

Nie każde równanie od razu wygląda jak iloczyn. Najprostszy rozkład to wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.

$x^2-5x=0$

$x(x-5)=0$

$x=0 \text{ lub } x=5$

PRZYKŁAD

Rozwiąż równanie $x^2-5x=0$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy $x$ przed nawias: $x^2-5x=x(x-5)$ . Potem: $x=0$ lub $x-5=0$ , więc $x=5$ .

05WYJAŚNIENIE

Wspólny czynnik może być większy niż x

Czasem z wielomianu można wyłączyć nie tylko x, ale też liczbę stojącą przy składnikach. Warto wyłączyć największy wspólny czynnik.

Rozkład dwa x kwadrat plus sześć x na dwa x razy x plus trzy.

$2x^2+6x=2x(x+3)$

$2x(x+3)=0$

$x=0 \text{ lub } x=-3$

Wskazówka

Sprawdź rozkład przez wymnożenie: $2x(x+3)=2x^2+6x$ .

06WYJAŚNIENIE

Różnica kwadratów jako postać iloczynowa

Równania typu $x^2$ minus liczba można rozwiązać przez wzór skróconego mnożenia. Liczbę zapisujesz jako kwadrat.

Różnica kwadratów x kwadrat minus dziewięć rozłożona na nawiasy i rozwiązania na osi.

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$

$x=-3 \text{ lub } x=3$

PRZYKŁAD

Rozwiąż równanie $x^2-9=0$ .

Rozwiązanie

To różnica kwadratów: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Stąd $x=3$ lub $x=-3$ .

07WYJAŚNIENIE

Trójmian już zapisany jako iloczyn

Rozwiąż równanie $(x+5)(x-2)=0$ . Każdy nawias przyrównujemy do zera. W pierwszym przypadku odejmujemy $5$ od obu stron, a w drugim dodajemy $2$ . To uzasadnia znaki otrzymanych rozwiązań.

Dwa nawiasy pokazujące zmianę znaku przy przejściu do rozwiązania.

$(x+5)(x-2)=0$

$x+5=0\ \Rightarrow\ x=-5$

$x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

Wskazówka

Nie przepisuj liczb z nawiasów bez zmiany znaku. Z $x+5$ wynika $x=-5$ .

08WYJAŚNIENIE

Kiedy trzeba przenieść wyrazy na jedną stronę

Jeśli równanie nie ma po jednej stronie zera, najpierw przenieś wszystko na jedną stronę. Dopiero potem próbuj rozkładać wielomian na czynniki.

Przeniesienie z równania x kwadrat równa się cztery x do postaci iloczynowej.

$x^2=4x$

$x^2-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0 \text{ lub } x=4$

Wskazówka

Nie dziel od razu przez $x$ , bo zgubisz rozwiązanie $x=0$ .

09WYJAŚNIENIE

Równanie z powtarzającym się rozwiązaniem

Kwadrat nawiasu oznacza dwa takie same czynniki. Oba zerują się dla tej samej liczby, więc równanie ma jedno różne rozwiązanie.

Powtarzający się czynnik daje jedno różne rozwiązanie.

$(x-2)^2=0$

$x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

Zapamiętaj

W odpowiedzi zapisujesz $x=2$ , a nie $x=2 \text{ lub } x=2$ .

10WYJAŚNIENIE

Mapa metody

Najbezpieczniej myśleć o równaniu wielomianowym jak o drodze: najpierw zero po jednej stronie, potem rozkład na czynniki, na końcu proste przypadki.

$W(x)=0$

$W(x)=(\text{czynnik})(\text{czynnik})$

$\text{czynnik}=0$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Gotowa postać

Rozwiązaniami równania $(x-6)(x+1)=0$ są:

$x=6 \text{ lub } x=-1$

$x=-6 \text{ lub } x=1$

$x=6 \text{ lub } x=1$

$x=-6 \text{ lub } x=-1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x=6 \text{ lub } x=-1$

Z $x-6=0$ mamy $x=6$ , a z $x+1=0$ mamy $x=-1$ .

PYTANIE 02

Wyłącz x

Rozwiązaniami równania $x^2-7x=0$ są:

$x=7$

$x=0 \text{ lub } x=7$

$x=0 \text{ lub } x=-7$

$x=-7$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=0 \text{ lub } x=7$

Wyłączamy $x$ : $x^2-7x=x(x-7)$ . Stąd $x=0$ lub $x=7$ .

PYTANIE 03

Różnica kwadratów

Rozwiązaniami równania $x^2-16=0$ są:

$x=4$

$x=-4$

$x=-4 \text{ lub } x=4$

$x=0 \text{ lub } x=16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$x=-4 \text{ lub } x=4$

To różnica kwadratów: $x^2-16=(x-4)(x+4)$ . Stąd $x=4$ lub $x=-4$ .

PYTANIE 04

Najpierw przenieś

Który krok jest poprawny przy rozwiązywaniu równania $x^2=3x$ ?

Dzielimy przez $x$ i zostaje $x=3$ .

Przenosimy wszystko na jedną stronę: $x^2-3x=0$ .

Zapisujemy $x^2+3x=0$ .

Zapisujemy $x=0$ jako jedyne rozwiązanie.

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

Przenosimy wszystko na jedną stronę: $x^2-3x=0$ .

Najpierw trzeba przenieść wszystko na jedną stronę: $x^2-3x=0$ . Potem można wyłączyć $x$ .

PYTANIE 05

Jedno różne rozwiązanie

Ile różnych rozwiązań ma równanie $(x+4)^2=0$ ?

$0$

$1$

$2$

$4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$1$

Równanie oznacza, że $x+4=0$ , więc $x=-4$ . To jedno różne rozwiązanie.

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Równania wielomianowe w postaci iloczynowej rozwiązujesz przez zasadę iloczynu równego zeru. Jeśli równanie nie jest jeszcze w takiej postaci, najpierw doprowadzasz je do postaci iloczyn $=0$ .

Zapamiętaj

$(x-a)(x-b)=0$ daje $x=a$ lub $x=b$

$x^2-ax=0$ rozkładamy jako $x(x-a)=0$

$x^2-a^2=0$ rozkładamy jako $(x-a)(x+a)=0$

Postać iloczynowa działa dopiero wtedy, gdy po drugiej stronie jest $0$ .