Środek odcinka

ZANIM ZACZNIESZ

Co zrobisz w tej lekcji?

W tej lekcji znajdziesz punkt leżący dokładnie w połowie odcinka. Najpierw zobaczysz środek na prostych odcinkach, potem zapiszesz wzór ze średnią współrzędnych, a na końcu rozwiążesz zadanie odwrotne.

Na start

Środek dzieli odcinek na dwie równe części.

Osobno uśredniasz współrzędne $x$ i $y$ .

Gdy znasz środek i jeden koniec, możesz znaleźć drugi koniec.

Po tej lekcji:

Uczeń oblicza środek odcinka i znajduje brakujący koniec odcinka.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Środek leży dokładnie w połowie

Środek odcinka to punkt, który dzieli odcinek na dwie równe części. Jeśli $S$ jest środkiem odcinka $AB$ , to obie części mają tę samą długość.

Punkt S leży w połowie odcinka AB od 0 do 8.

Środek leży w połowie drogi w obu kierunkach. Jego pierwsza współrzędna to $x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}$ ; tak samo liczymy drugą współrzędną.

$|AS|=|SB|$

Dla odcinka od $0$ do $8$ środek leży w punkcie $4$ .

02WYJAŚNIENIE

Środek odcinka poziomego

Odcinek poziomy ma tę samą drugą współrzędną na obu końcach. Środek ma tę samą wysokość, a pierwsza współrzędna jest średnią pierwszych współrzędnych końców.

Środek S=(2,3) poziomego odcinka od A=(-2,3) do B=(6,3).

$A=(x_1,y),\quad B=(x_2,y)$

$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},y\right)$

$S=\left(\frac{-2+6}{2},3\right)=(2,3)$

03WYJAŚNIENIE

Środek odcinka pionowego

Odcinek pionowy ma tę samą pierwszą współrzędną na obu końcach. Środek ma to samo $x$ , a druga współrzędna jest średnią wysokości końców.

$A=(x,y_1),\quad B=(x,y_2)$

$S=\left(x,\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

$S=\left(4,\frac{-1+7}{2}\right)=(4,3)$

Zapamiętaj

Średnią liczysz tylko z tej współrzędnej, która się zmienia.

04WYJAŚNIENIE

Wzór na środek dowolnego odcinka

Dla odcinka ukośnego metoda nie zmienia się: osobno uśredniasz pierwsze współrzędne, osobno drugie.

Środek S=(4,4) leży w połowie ukośnego odcinka AB.

$A=(x_1,y_1),\quad B=(x_2,y_2)$

$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

$A=(1,2),\quad B=(7,6),\quad S=(4,4)$

Wskazówka

Nie licz jednej średniej ze wszystkich czterech liczb. Współrzędne $x$ i $y$ uśredniasz osobno.

05WYJAŚNIENIE

Środek może mieć współrzędne ułamkowe

Jeśli suma współrzędnych końców jest nieparzysta, środek nie musi mieć współrzędnych całkowitych. Taki wynik zostawiamy dokładnie, bez zaokrąglania.

$A=(-1,4),\quad B=(4,-2)$

$S=\left(\frac{-1+4}{2},\frac{4+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},1\right)$

Wskazówka

Na maturze zapis $\frac{3}{2}$ często jest wygodniejszy niż $1{,}5$ .

06WYJAŚNIENIE

Znamy środek i jeden koniec

Punkt $S=(5,3)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $A=(2,1)$ . Wyznacz punkt $B$ . W zadaniu odwrotnym drugi koniec leży po drugiej stronie środka w takim samym przesunięciu.

Brakujący koniec odcinka znaleziony przez powtórzenie przesunięcia od A do S.

$S=(5,3),\quad A=(2,1)$

$5=\frac{2+x}{2}\quad \Rightarrow \quad x=8$

$3=\frac{1+y}{2}\quad \Rightarrow \quad y=5$

$B=(8,5)$

Zapamiętaj

Od $A$ do $S$ i od $S$ do $B$ jest ten sam ruch.

07WYJAŚNIENIE

Środek w początku układu

Punkt $A=(7,-4)$ , a środkiem odcinka $AB$ jest początek układu. Wyznacz punkt $B$ . Jeśli środkiem odcinka jest początek układu, końce mają przeciwne współrzędne.

Punkty A=(3,2) i B=(-3,-2) symetryczne względem początku układu.

$S=(0,0)$

$A=(a,b)\quad \Rightarrow \quad B=(-a,-b)$

$A=(7,-4)\quad \Rightarrow \quad B=(-7,4)$

Wskazówka

Przeciwne współrzędne oznaczają zmianę znaku obu liczb, a nie zamianę kolejności.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Środek odcinka o końcach $A=(2,4)$ i $B=(8,10)$ ma współrzędne:

$(5,7)$

$(6,6)$

$(10,14)$

$(3,3)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(5,7)$

$S=\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2}\right)=\left(\frac{10}{2},\frac{14}{2}\right)=(5,7)$ .

PYTANIE 02

Punkt $S=(3,5)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $A=(1,2)$ . Jakie są współrzędne punktu $B$ ?

$(2,3)$

$(4,7)$

$(5,8)$

$(6,10)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$(5,8)$

Dla pierwszej współrzędnej $3=\frac{1+x}{2}$ , więc $x=5$ . Dla drugiej $5=\frac{2+y}{2}$ , więc $y=8$ .

PYTANIE 03

Punkt $O=(0,0)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $A=(-6,9)$ . Jakie są współrzędne punktu $B$ ?

$(6,-9)$

$(-6,-9)$

$(9,-6)$

$(6,9)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(6,-9)$

Jeśli środek jest w początku układu, drugi koniec ma współrzędne przeciwne. Dlatego $B=(6,-9)$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody

Środek odcinka dzieli go na dwie równe części, czyli $|AS|=|SB|$ . Dla końców $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ liczymy $S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ . W zadaniu odwrotnym środek jest średnią końców albo punktem symetrii.

Co zrobisz w tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Środek leży dokładnie w połowie

Środek odcinka poziomego

Środek odcinka pionowego

Wzór na środek dowolnego odcinka

Środek może mieć współrzędne ułamkowe

Znamy środek i jeden koniec

Środek w początku układu

Teraz Twoja kolej

Środek odcinka o końcach A=(2,4)A=(2,4)A=(2,4) i B=(8,10)B=(8,10)B=(8,10) ma współrzędne:

Punkt S=(3,5)S=(3,5)S=(3,5) jest środkiem odcinka ABABAB, a A=(1,2)A=(1,2)A=(1,2). Jakie są współrzędne punktu BBB?

Punkt O=(0,0)O=(0,0)O=(0,0) jest środkiem odcinka ABABAB, a A=(−6,9)A=(-6,9)A=(−6,9). Jakie są współrzędne punktu BBB?

Najważniejsze metody

Środek odcinka o końcach $A=(2,4)$ i $B=(8,10)$ ma współrzędne:

Punkt $S=(3,5)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $A=(1,2)$ . Jakie są współrzędne punktu $B$ ?

Punkt $O=(0,0)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $A=(-6,9)$ . Jakie są współrzędne punktu $B$ ?