Odległość między punktami

ZANIM ZACZNIESZ

Co zrobisz w tej lekcji?

W tej lekcji policzysz długość odcinka między punktami. Zaczniesz od przypadków poziomych i pionowych, a potem zbudujesz trójkąt prostokątny i użyjesz wzoru z twierdzenia Pitagorasa.

Na start

Ten sam $y$ daje odcinek poziomy.

Ten sam $x$ daje odcinek pionowy.

Ukośny odcinek liczysz jako przeciwprostokątną.

Po tej lekcji:

Uczeń oblicza odległość między punktami w układzie współrzędnych.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Odcinek poziomy

Jeśli punkty mają tę samą drugą współrzędną, zmienia się tylko położenie w poziomie. Długość odcinka jest wtedy dodatnią różnicą pierwszych współrzędnych.

Poziomy odcinek AB między punktami o tym samym y.

Długość poziomego odcinka to $|x_2-x_1|$ , a pionowego $|y_2-y_1|$ . Są nieujemne; jedna może wynosić zero. Podnosząc je do kwadratu, możemy opuścić wartości bezwzględne, bo $|u|^2=u^2$ .

$A=(x_1,y),\quad B=(x_2,y)$

$|AB|=|x_2-x_1|$

$|AB|=|4-(-2)|=6$

02WYJAŚNIENIE

Odcinek pionowy

Jeśli punkty mają tę samą pierwszą współrzędną, zmienia się tylko wysokość. Długość odcinka jest wtedy dodatnią różnicą drugich współrzędnych.

Pionowy odcinek CD między punktami o tym samym x.

$A=(x,y_1),\quad B=(x,y_2)$

$|AB|=|y_2-y_1|$

$|CD|=|1-(-4)|=5$

03WYJAŚNIENIE

Ukośny odcinek tworzy trójkąt prostokątny

Gdy odcinek nie jest poziomy ani pionowy, dorysuj poziomą i pionową przyprostokątną. Szukana odległość jest przeciwprostokątną.

Ukośny odcinek AB jako przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego.

$\Delta x=x_2-x_1$

$\Delta y=y_2-y_1$

$d^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$

04WYJAŚNIENIE

Wzór na odległość punktów

Dla punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ najpierw liczysz różnice odpowiednich współrzędnych, potem używasz twierdzenia Pitagorasa.

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$A=(1,1),\quad B=(5,4)$

$|AB|=\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Wskazówka

We wzorze są kwadraty różnic. Zapis $\sqrt{x_2-x_1+y_2-y_1}$ nie ma sensu geometrycznego.

05WYJAŚNIENIE

Kolejność punktów nie zmienia długości

Odległość od $A$ do $B$ jest taka sama jak od $B$ do $A$ . Jeśli różnice wyjdą ujemne, kwadraty i tak dadzą dodatnie składniki.

$|AB|=|BA|$

$\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$

Wskazówka

Przy liczbach ujemnych używaj nawiasów: $(-4)^2=16$ , ale $-4^2=-16$ .

06WYJAŚNIENIE

Odległość od początku układu

Gdy jednym z punktów jest początek układu, różnice współrzędnych są po prostu współrzędnymi drugiego punktu.

Odległość punktu A=(6,8) od początku układu jako przeciwprostokątna.

$A=(x,y)$

$|OA|=\sqrt{x^2+y^2}$

$|OA|=\sqrt{6^2+8^2}=10$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,2)$ są końcami odcinka. Ile wynosi $|AB|$ ?

$4$

$6$

$7$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$6$

Punkty mają to samo $y=2$ , więc odległość to różnica pierwszych współrzędnych: $5-(-1)=6$ .

PYTANIE 02