Przesunięcie wykresu w pionie - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w lekcji

W tej lekcji przesuniesz wykres funkcji w górę i w dół. Zobaczysz, jak zmienia się pojedynczy punkt, jak działa liczba dopisana poza funkcją i dlaczego miejsca zerowe przy ruchu pionowym trzeba sprawdzać rachunkiem.

Na start

ruch punktu w pionie

liczba poza funkcją

pion kontra poziom

Po tej lekcji:

rozpoznasz przesunięcie wykresu w górę i w dół
odczytasz ruch z zapisu f(x)+a oraz f(x)-a
odróżnisz przesunięcie pionowe od poziomego

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Punkt idzie w górę albo w dół

Przesunięcie pionowe zmienia tylko drugą współrzędną punktu. Argument zostaje taki sam.

Punkt A przesunięty w górę do punktu A prim na tej samej pionowej prostej.

$(x,y)\rightarrow(x,y+3)$

$(2,1)\rightarrow(2,4)$

po ruchu w górę dodajemy do współrzędnej $y$

02WYJAŚNIENIE

Dodawanie poza funkcją podnosi wykres

Jeśli do wartości funkcji dodajemy tę samą liczbę, każda wysokość wykresu rośnie o tyle samo.

Wykres funkcji f przesunięty w górę jako wykres f od x plus cztery.

$g(x)=f(x)+4$

$(-1,2)\rightarrow(-1,6)$

cały wykres idzie w górę o $4$

03WYJAŚNIENIE

Odejmowanie poza funkcją opuszcza wykres

Jeśli od wartości funkcji odejmujesz tę samą liczbę, cały wykres idzie w dół. Współrzędne $x$ się nie zmieniają.

$g(x)=f(x)-3$

$(4,5)\rightarrow(4,2)$

$f(x)-a$ przesuwa wykres w dół o $a$

Zapamiętaj

$f(x)+a$ w górę

$f(x)-a$ w dół

04WYJAŚNIENIE

Parabola: zmienia się wysokość wierzchołka

Przy przesunięciu pionowym wierzchołek paraboli zostaje nad tym samym argumentem, ale ma inną wysokość.

Parabola y równa x kwadrat przesunięta w dół o pięć jednostek.

$y=x^2$ ma wierzchołek $(0,0)$

$y=x^2-5$ ma wierzchołek $(0,-5)$

05WYJAŚNIENIE

Tabela wartości po przesunięciu

W tabeli przy przesunięciu pionowym zostawiasz te same argumenty i zmieniasz tylko wartości funkcji.

$g(x)=f(x)+2$

$f(-1)=3\Rightarrow g(-1)=5$

$f(0)=1\Rightarrow g(0)=3$

$f(2)=4\Rightarrow g(2)=6$

Wskazówka

Nie zmieniaj argumentów w tabeli. Zmieniasz tylko wartości funkcji.

06WYJAŚNIENIE

Miejsca zerowe trzeba sprawdzić

Po przesunięciu pionowym przecięcia z osią $x$ mogą się zmienić inaczej niż przy przesunięciu poziomym. Czasem pojawiają się nowe miejsca zerowe.

Parabola y równa x kwadrat przesunięta w dół i przecinająca oś x w dwóch punktach.

$g(x)=x^2-4$

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x=-2\ \text{lub}\ x=2$

Zapamiętaj

Przy przesunięciu pionowym nie przesuwaj miejsc zerowych mechanicznie w lewo lub w prawo.

07WYJAŚNIENIE

Pionowe czy poziome

Najpierw sprawdź, gdzie stoi liczba: poza funkcją czy w środku przy argumencie. To decyduje o kierunku ruchu.

Porównanie przesunięcia pionowego f od x plus pięć oraz poziomego f od x plus pięć.

$f(x)+5$ przesuwa wykres w górę

$f(x+5)$ przesuwa wykres w lewo

podobny zapis, ale inny ruch

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Kierunek przesunięcia

Wykres funkcji $y=f(x)+6$ powstaje z wykresu $y=f(x)$ przez przesunięcie:

w górę o $6$

w dół o $6$

w prawo o $6$

w lewo o $6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

w górę o $6$

$+6$ jest poza funkcją, więc cały wykres idzie w górę o $6$ .

PYTANIE 02

Punkt po przesunięciu

Punkt $(3,-1)$ po przesunięciu wykresu w górę o $5$ przechodzi w punkt:

$(8,-1)$

$(-2,-1)$

$(3,4)$

$(3,-6)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$(3,4)$

Przesunięcie w górę zmienia tylko drugą współrzędną: $-1+5=4$ . Pierwsza zostaje równa $3$ .

PYTANIE 03

Wybierz właściwy zapis

Który zapis oznacza przesunięcie wykresu $y=f(x)$ w dół o $3$ ?

$y=f(x-3)$

$y=f(x+3)$

$y=f(x)-3$

$y=f(x)+3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$y=f(x)-3$

Przesunięcie w dół jest pionowe, więc liczba stoi poza funkcją: $y=f(x)-3$ .

NA KONIEC

Przesunięcie pionowe w skrócie

Przesunięcie pionowe zmienia wartości funkcji, czyli współrzędne $y$ .

$f(x)+a$ przesuwa wykres w górę o $a$ .

$f(x)-a$ przesuwa wykres w dół o $a$ .

Liczba poza funkcją oznacza pion, a liczba przy $x$ w środku funkcji oznacza poziom.