Procenty w zadaniach tekstowych - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji połączysz wszystkie wcześniejsze procenty w zadaniach tekstowych. Nauczysz się najpierw ustalać, co jest $100\%$ , potem wybierać właściwy schemat: część, procent, całość, podwyżkę, obniżkę albo kilka zmian.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz całość, czyli $100\%$ .

Potem zdecydujesz, czy szukasz części, procentu, czy wartości po zmianie.

Na końcu rozwiążesz zadania, w których łatwo pomylić podstawę procentu.

Na start

Najważniejsze pytanie brzmi: co jest całością, czyli $100\%$ ?

Po tej lekcji:

rozpoznajesz podstawę procentu w zadaniu tekstowym
dobierasz schemat obliczeń
kontrolujesz sens wyniku

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Trzy podstawowe typy pytań

Większość zadań procentowych na poziomie podstawowym da się rozpoznać po tym, czego szukasz: części, procentu albo całości.

$\text{część}=p\%\cdot \text{całość}$

$p\%=\frac{\text{część}}{\text{całość}}\cdot 100\%$

$\text{całość}=\frac{\text{część}}{p\%}$

02WYJAŚNIENIE

Gdy szukasz części albo procentu

Jeśli zadanie mówi, że mamy znaleźć procent z danej liczby, to znamy całość i procent. Jeśli znasz część i całość, a pytanie brzmi „jaki to procent?”, używasz ułamka część przez całość.

PRZYKŁAD

W szkole jest $600$ uczniów. $35\%$ z nich dojeżdża autobusem. Ilu uczniów dojeżdża autobusem?

Rozwiązanie

Całością jest $600$ . Liczymy $\frac{35}{100}\cdot 600=35\cdot 6=210$ .

Wskazówka

Delta: przy ankietach całością jest zwykle liczba wszystkich odpowiedzi albo wszystkich osób biorących udział w ankiecie.

$210$ uczniów to część całej grupy $600$ .

03WYJAŚNIENIE

Gdy szukasz całości

Czasem zadanie podaje część i procent, a pyta o całość. Wtedy trzeba odwrócić myślenie: skoro $30\%$ to $90$ , to $100\%$ musi być większe.

Pasek 100 procent podzielony na dziesięć części, trzy części to 30 procent równe 90, całość równa 300.

PRZYKŁAD

$30\%$ pewnej liczby wynosi $90$ . Jaka to liczba?

Rozwiązanie

Szukana liczba to całość. Zapisujemy $0{,}3x=90$ . Dzielimy przez $0{,}3$ : $x=90:0{,}3=300$ .

Wskazówka

Nie licz $90+30\%$ . Liczba $90$ jest już wartością $30\%$ , a nie całością.

04WYJAŚNIENIE

Rabat, podatek i doliczenie

Jeśli cena po rabacie jest podana, to jest to wartość po obniżce. Przy doliczeniu podatku, opłaty albo prowizji wartość końcowa jest większa niż początkowa.

Rabat $20\%$ zostawia $80\%$ ceny początkowej.

Doliczenie $23\%$ daje $123\%$ wartości netto.

PRZYKŁAD

Po rabacie $20\%$ kurtka kosztuje $240$ zł. Ile kosztowała przed rabatem?

Rozwiązanie

Po rabacie zostaje $80\%$ ceny początkowej, więc $0{,}8x=240$ . Stąd $x=240:0{,}8=300$ zł.

Zapamiętaj

Doliczenie procentu: mnożnik większy od $1$ .

Rabat procentowy: mnożnik mniejszy od $1$ .

05WYJAŚNIENIE

Zadanie z mieszaniną

W zadaniach o stężeniu procentowym całością jest masa albo objętość całej mieszaniny. Procent mówi, jaka część tej mieszaniny jest jednym składnikiem.

$\text{masa składnika}=p\%\cdot \text{masa mieszaniny}$

PRZYKŁAD

Roztwór soli ma masę $500$ g i stężenie $8\%$ . Ile gramów soli jest w roztworze?

Rozwiązanie

Całością jest masa roztworu, czyli $500$ g. Sól stanowi $8\%$ , więc $0{,}08\cdot 500=40$ g.

06WYJAŚNIENIE

Kilka informacji i kontrola sensu

W dłuższych zadaniach procentowych nie rozwiązuj wszystkiego naraz. Najpierw wypisz, co jest całością, co jest częścią, a co jest zmianą. Po obliczeniach sprawdź, czy kierunek wyniku pasuje do treści.

PRZYKŁAD

Cena roweru wynosiła $1200$ zł. Najpierw obniżono ją o $15\%$ , a potem doliczono dostawę równą $5\%$ ceny po obniżce. Ile trzeba zapłacić?

Rozwiązanie

Obniżka zostawia $85\%$ : $1200\cdot 0{,}85=1020$ zł. Dostawa jest liczona od $1020$ zł, więc $1020\cdot 1{,}05=1071$ zł.

Wskazówka

Delta: gdy w zadaniu jest „tej ceny”, „po obniżce” albo „po podwyżce”, to podstawa procentu właśnie się zmieniła.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Szukamy całości

$40\%$ pewnej liczby wynosi $120$ . Jaka to liczba?

$48$

$160$

$300$

$480$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$300$

$0{,}4x=120$ , więc $x=120:0{,}4=300$ .

PYTANIE 02

Procent w mieszaninie

W roztworze o masie $800$ g jest $12\%$ cukru. Ile gramów cukru jest w roztworze?

12 g

80 g

96 g

120 g

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

96 g

$12\%$ z $800$ to $0{,}12\cdot 800=96$ g.

PYTANIE 03

Kilka zmian w zadaniu

Cena $500$ zł została obniżona o $10\%$ , a potem do ceny po obniżce doliczono $10\%$ . Jaka jest cena końcowa?

495 zł

500 zł

505 zł

550 zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

495 zł

Najpierw $500\cdot 0{,}9=450$ , potem $450\cdot 1{,}1=495$ . Druga zmiana jest liczona od $450$ , nie od $500$ .

PYTANIE 04

Cena przed rabatem

Po rabacie $25\%$ cena wynosi $90$ zł. Ile wynosiła cena przed rabatem?

67,50 zł

112,50 zł

115 zł

120 zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

120 zł

Po rabacie zostaje $75\%$ , więc $0{,}75x=90$ . Stąd $x=120$ .

PYTANIE 05

O ile procent większa?

Liczba $72$ jest o ile procent większa od liczby $60$ ?

$12\%$

$20\%$

$25\%$

$80\%$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$20\%$

Różnica wynosi $72-60=12$ . Porównujemy do $60$ : $\frac{12}{60}\cdot 100\%=20\%$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

W każdym zadaniu procentowym najpierw znajdź całość. Potem rozpoznaj, czy szukasz części, procentu, całości, wartości po zmianie albo efektu kilku zmian.

Szukasz części: liczysz $p\%$ z całości.

Szukasz procentu: liczysz $\frac{\text{część}}{\text{całość}}\cdot 100\%$ .

Szukasz całości: układasz równanie typu $p\%\cdot x=\text{część}$ .

Po obniżce używaj mnożnika mniejszego od $1$ , po podwyżce większego od $1$ .

Umiesz dobrać schemat do zadania tekstowego i sprawdzić sens wyniku.