Pole trójkąta - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Nauczysz się liczyć pole trójkąta z podstawy i wysokości. Zobaczysz, dlaczego we wzorze dzielimy przez dwa, jak pracować z trójkątem prostokątnym i co zrobić, gdy wysokość wypada poza figurą.

Na start

podstawa i wysokość muszą do siebie pasować

wysokość zawsze jest prostopadła do podstawy albo jej przedłużenia

pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych

Po tej lekcji:

dobierzesz wysokość do wybranej podstawy
obliczysz pole trójkąta zwykłego, prostokątnego i równobocznego
rozpoznasz sytuację, w której wysokość leży poza trójkątem

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Podstawa i wysokość

Jeden bok trójkąta wybieramy jako podstawę. Wysokość to odcinek opuszczony na tę podstawę pod kątem prostym.

Trójkąt z podstawą a i wysokością h opuszczoną pod kątem prostym.

$h\perp a$

Do wzoru bierzemy wysokość opuszczoną na tę samą podstawę, którą oznaczyliśmy jako $a$ .

Zapamiętaj

Nie każda narysowana kreska w środku trójkąta jest wysokością.

02WYJAŚNIENIE

Dlaczego dzielimy przez dwa?

Dwa jednakowe trójkąty mogą złożyć prostokąt albo równoległobok o tej samej podstawie i wysokości. Jeden trójkąt zajmuje więc połowę takiej figury.

Prostokąt podzielony przekątną na dwa jednakowe trójkąty.

$P=\frac{a\cdot h}{2}$

Najpierw mnożymy podstawę przez wysokość, a dopiero potem bierzemy połowę wyniku.

03WYJAŚNIENIE

Przykład z podstawą i wysokością

Oblicz pole trójkąta, którego podstawa ma długość $10\text{ cm}$ , a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość $6\text{ cm}$ .

$P=\frac{10\cdot 6}{2}$

$P=\frac{60}{2}=30$

Zapamiętaj

Pole tego trójkąta jest równe $30\text{ cm}^2$ .

04WYJAŚNIENIE

Wysokość poza trójkątem

W trójkącie rozwartokątnym wysokość może spaść na przedłużenie podstawy. To nadal jest poprawna wysokość, jeśli tworzy z podstawą kąt prosty.

Trójkąt rozwartokątny z wysokością opuszczoną na przedłużenie podstawy.

$a=12,\quad h=5$

$P=\frac{12\cdot 5}{2}=30$

Wskazówka

Na maturze taka wysokość bywa narysowana przerywaną linią poza trójkątem. Nie odrzucaj jej tylko dlatego, że nie leży wewnątrz figury.

05WYJAŚNIENIE

Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są prostopadłe, więc jedna może być podstawą, a druga wysokością.

$P=\frac{a\cdot b}{2}$

Dla przyprostokątnych $8\text{ cm}$ i $3\text{ cm}$ mamy:

$P=\frac{8\cdot 3}{2}=12\text{ cm}^2$

Wskazówka

Nie trzeba wtedy szukać osobno wysokości. Przyprostokątne już tworzą parę prostopadłych odcinków.

06WYJAŚNIENIE

Trójkąt równoboczny

Dla trójkąta równobocznego najczęściej używamy gotowego wzoru zależnego tylko od długości boku.

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

PRZYKŁAD

Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku $6\text{ cm}$ .

Rozwiązanie

$P=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\text{ cm}^2$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Podstawa trójkąta ma $14$ , a wysokość opuszczona na tę podstawę ma $6$ . Ile wynosi pole?

$20$

$42$

$84$

$48$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$42$

$P=\frac{14\cdot 6}{2}=42$

PYTANIE 02

Zadanie

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości $5$ i $12$ . Jakie ma pole?

$17$

$30$

$60$

$120$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$30$

$P=\frac{5\cdot 12}{2}=30$

PYTANIE 03

Zadanie

Pole trójkąta wynosi $48$ , a jego podstawa ma długość $12$ . Ile wynosi wysokość opuszczona na tę podstawę?

$4$

$8$

$12$

$24$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8$

$48=\frac{12\cdot h}{2}$ , więc $48=6h$ i $h=8$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po lekcji

Pole trójkąta liczysz z pary: wybrana podstawa i wysokość prostopadła do tej podstawy. W trójkącie prostokątnym tę parę tworzą przyprostokątne, a w równobocznym możesz użyć gotowego wzoru z bokiem.

Zapamiętaj

$P=\frac{a\cdot h}{2}$

$P_{prost.}=\frac{a\cdot b}{2}$

$P_{rownob.}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$