Symetria względem początku układu - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się odbijać punkty względem początku układu, czyli punktu $(0,0)$ . Taka symetria zmienia znaki obu współrzędnych.

Plan tej lekcji

Najpierw zobaczysz punkt i jego obraz po przeciwnych stronach początku układu.

Potem przećwiczysz regułę zmiany obu znaków.

Następnie porównasz tę symetrię z odbiciem względem osi.

Na końcu odbijesz prostą figurę punkt po punkcie.

Na start

$(x,y)\to(-x,-y)$

Punkt i jego obraz leżą na jednej prostej z początkiem układu.

Po tej lekcji:

odbija punkt względem początku układu
odróżnia symetrię względem początku od symetrii osiowej
odbija figurę względem punktu (0,0)

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Odbicie względem początku układu

Obraz punktu leży po drugiej stronie początku układu w tej samej odległości.

Ilustracja: symetria wzgledem poczatku ukladu

$P=(x,y)$

$P'=(-x,-y)$

Dla $P=(3,4)$ obrazem jest $P'=(-3,-4)$ .

02WYJAŚNIENIE

Zmieniają się oba znaki

W tej symetrii żadna współrzędna nie zostaje taka sama, chyba że jest równa zero.

$(x,y)\to(-x,-y)$

Punkt $A=(-5,2)$ przechodzi w $A'=(5,-2)$ .

Punkt $B=(7,-1)$ przechodzi w $B'=(-7,1)$ .

Zapamiętaj

Krótka reguła: oba znaki na przeciwne.

03WYJAŚNIENIE

Porównanie z symetrią względem osi

Symetria względem początku układu to nie to samo co odbicie względem jednej osi. Przy osi zmienia się jeden znak, a przy początku układu oba.

$OX:\ (x,y)\to(x,-y)$

$OY:\ (x,y)\to(-x,y)$

$O:\ (x,y)\to(-x,-y)$

Dla $P=(2,-3)$ te trzy odbicia dają trzy różne punkty.

Wskazówka

Oba znaki zmieniają się tylko przy symetrii względem początku układu.

04WYJAŚNIENIE

Punkt na osi przy symetrii względem początku

Jeśli punkt leży na osi, po odbiciu względem początku zwykle zostaje na tej samej osi, ale po drugiej stronie początku układu.

$(0,6)\to(0,-6)$

$(-4,0)\to(4,0)$

Współrzędna równa $0$ po zmianie znaku nadal jest zerem.

05WYJAŚNIENIE

Początek układu nie zmienia się

Punkt, względem którego odbijamy, jest punktem stałym tej symetrii.

$(0,0)\to(0,0)$

Zmiana znaków zera nic nie przesuwa.

06WYJAŚNIENIE

Odbijanie figury względem początku układu

Figurę odbijasz punkt po punkcie. Każdemu wierzchołkowi zmieniasz znaki obu współrzędnych.

Ilustracja: symetria figury wzgledem poczatku

$A=(1,2),\ B=(4,1),\ C=(2,5)$

$A'=(-1,-2),\ B'=(-4,-1),\ C'=(-2,-5)$

Po odbiciu łączysz punkty z apostrofami w tej samej kolejności.

07WYJAŚNIENIE

Symetria względem początku jako dwa odbicia osiowe

Odbicie najpierw względem jednej osi, a potem względem drugiej daje taki sam efekt jak odbicie względem początku układu.

$(x,y)\xrightarrow{OX}(x,-y)\xrightarrow{OY}(-x,-y)$

Dla punktu $P=(3,-4)$ oba sposoby prowadzą do punktu $(-3,4)$ .

Wskazówka

Jeśli zapomnisz reguły dla początku układu, pomyśl o przejściu na przeciwną stronę obu osi.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie 1

Punkt symetryczny do $P=(6,-2)$ względem początku układu to:

$(-6,2)$

$(6,2)$

$(-6,-2)$

$(2,-6)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(-6,2)$

Przy symetrii względem początku układu zmieniamy znaki obu współrzędnych.

PYTANIE 02

Zadanie 2

Która reguła opisuje symetrię względem początku układu?

$(x,y)\to(x,-y)$

$(x,y)\to(-x,y)$

$(x,y)\to(-x,-y)$

$(x,y)\to(y,x)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$(x,y)\to(-x,-y)$

Symetria względem początku układu zmienia znak obu współrzędnych.

PYTANIE 03

Zadanie 3

Punkt $B=(0,5)$ po symetrii względem początku układu przechodzi w:

$(0,-5)$

$(5,0)$

$(0,5)$

$(-5,0)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(0,-5)$

Zmieniamy znak obu współrzędnych, a $-0=0$ .

PYTANIE 04

Zadanie 4

Obraz punktu $C=(-8,0)$ względem początku układu to:

$(8,0)$

$(-8,0)$

$(0,8)$

$(0,-8)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(8,0)$

Zmieniamy znak pierwszej współrzędnej, a druga zostaje $0$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Zapamiętaj

$(x,y)\to(-x,-y)$

Zmieniają się oba znaki.

Punkt $O=(0,0)$ zostaje bez zmian.

$OX:\ (x,y)\to(x,-y)$

$OY:\ (x,y)\to(-x,y)$

$O:\ (x,y)\to(-x,-y)$