Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka · LEKCJA 5 Z 5

Zadania mieszane z regułą dodawania i mnożenia

Przypadki i etapy w jednym zadaniu

◷ 18 minPoziom: podstawowy7 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Nauczysz się rozkładać trudniejsze zadania na rozłączne przypadki i kolejne etapy. Wewnątrz jednego przypadku będziesz mnożyć, a wyniki różnych przypadków dodawać.

Na start

1. najpierw dzielimy rozwiązania na przypadki

2. w każdym przypadku rozpisujemy etapy

3. na końcu kontrolujemy rozłączność i kompletność

Po tej lekcji:
  • podzielisz zadanie na rozłączne przypadki
  • policzysz etapy w każdym przypadku
  • połączysz dodawanie i mnożenie
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw przypadki, potem etapy

Dodawanie rozdziela alternatywne przypadki. Mnożenie łączy kolejne wybory wewnątrz jednego przypadku.

Dwa rozłączne przypadki z mnożeniem etapów i dodaniem wyników.
Dwa rozłączne przypadki z mnożeniem etapów i dodaniem wyników.
Zapamiętaj

a⋅b+c⋅da\cdot b+c\cdot d opisuje dwa rozłączne przypadki, w których są po dwa etapy.

02WYJAŚNIENIE

Liczby parzyste bez powtórzeń

Z cyfr 0,1,2,3,40,1,2,3,4 tworzymy trzycyfrowe liczby parzyste bez powtarzania cyfr. Ostatnia cyfra może być 0,20,2 albo 44, ale zero na końcu zachowuje się inaczej niż 22 i 44. Przy końcówce 00 pierwsza cyfra ma 44 możliwości, a środkowa 33. Przy końcówce 22 lub 44 pierwsza cyfra nie może być zerem ani cyfrą już użytą, więc ma 33 możliwości; na środkową zostają 33 cyfry, w tym zero. Stąd 2⋅3⋅32\cdot3\cdot3.

końcówka 00: 4⋅3=124\cdot3=12

końcówka 22 albo 44: 2⋅3⋅3=182\cdot3\cdot3=18

12+18=3012+18=30

Wskazówka

Nie licz wszystkich trzech końcówek jednym iloczynem, bo 00 zmienia liczbę możliwości na pierwszej pozycji.

03WYJAŚNIENIE

„Co najmniej jeden” przez dopełnienie

Kod ma trzy cyfry z zestawu 1,2,3,41,2,3,4 i cyfry mogą się powtarzać. Aby policzyć kody z co najmniej jedną cyfrą 44, łatwiej odjąć kody bez żadnej cyfry 44.

wszystkie kody: 43=644^3=64

bez cyfry 44: 33=273^3=27

64−27=3764-27=37

04WYJAŚNIENIE

Dokładnie jeden element

Kod ma trzy cyfry z zestawu 1,2,3,41,2,3,4 i ma zawierać dokładnie jedną cyfrę 44. Najpierw wybierasz miejsce tej cyfry, potem pozostałe pozycje wypełniasz cyframi 1,2,31,2,3.

3⋅3⋅3=273\cdot3\cdot3=27

Zapamiętaj

„Dokładnie jeden” i „co najmniej jeden” to różne warunki.

05WYJAŚNIENIE

Podział według długości liczby

Z cyfr 1,2,3,41,2,3,4 tworzymy liczby dwu- lub trzycyfrowe bez powtarzania cyfr. Liczba nie może być jednocześnie dwu- i trzycyfrowa, więc przypadki są rozłączne.

dwucyfrowe: 4⋅3=124\cdot3=12

trzycyfrowe: 4⋅3⋅2=244\cdot3\cdot2=24

12+24=3612+24=36

06WYJAŚNIENIE

Wybór z ograniczeniem „albo”

Uczeń wybiera zestaw mięsny albo wegetariański. W każdym typie wybiera zupę i danie, więc wewnątrz typu mnożymy, a typy zestawów dodajemy. Dane: zestaw mięsny ma 33 zupy i 44 dania do wyboru, a wegetariański 22 zupy i 55 dań. Każda zupa pasuje do każdego dania w swoim typie; zestawy obu typów są rozłączne.

mięsny: 3⋅4=123\cdot4=12

wegetariański: 2⋅5=102\cdot5=10

12+10=2212+10=22

07WYJAŚNIENIE

Jak się nie zgubić?

Zanim zaczniesz liczyć, zapisz, co jest końcowym wynikiem. Potem znajdź rozłączne przypadki, a dopiero w każdym z nich rozpisz kolejne wybory.

Pionowy schemat kroków zadania mieszanego: wynik, przypadki, etapy, pomnóż, dodaj, kontrola.
Pionowy schemat kroków zadania mieszanego: wynik, przypadki, etapy, pomnóż, dodaj, kontrola.
Wskazówka

Jeśli nie wiesz, czy dodać, czy pomnożyć, oddziel najpierw przypadki. Dopiero wewnątrz jednego przypadku analizuj kolejne wybory.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Jedno- lub dwucyfrowe

Z cyfr 1,2,31,2,3 tworzymy liczby jedno- lub dwucyfrowe bez powtarzania cyfr. Ile jest takich liczb?

A

66

B

99

C

1212

D

1515

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

99

Jednocyfrowych jest 33, dwucyfrowych 3⋅2=63\cdot2=6. Razem 99.

PYTANIE 02

Co najmniej jedna cyfra 33

Kod ma dwie cyfry z zestawu 1,2,31,2,3. Cyfry mogą się powtarzać. Ile kodów zawiera co najmniej jedną cyfrę 33?

A

33

B

44

C

55

D

66

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

55

Wszystkich kodów jest 32=93^2=9. Bez cyfry 33 jest 22=42^2=4. Otrzymujemy 9−4=59-4=5.

PYTANIE 03

Dwa typy zestawów

W barze można wybrać zestaw A: jedną z 22 zup i jedno z 44 dań, albo zestaw B: jedną z 33 zup i jedno z 22 dań. Ile jest zestawów? Zestawy z menu A i z menu B są różne — żadnego zestawu nie liczymy w obu grupach.

A

1010

B

1212

C

1414

D

2424

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

1414

Zestawów A jest 2⋅4=82\cdot4=8, zestawów B 3⋅2=63\cdot2=6. Razem 1414.

PYTANIE 04

Dokładnie jedna cyfra 33

Kod ma trzy cyfry z zestawu 1,2,31,2,3. Cyfry mogą się powtarzać. Ile kodów zawiera dokładnie jedną cyfrę 33?

A

66

B

1212

C

1818

D

2727

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

1212

Najpierw wybieramy miejsce cyfry 33: są 33 możliwości. Na dwóch pozostałych miejscach wybieramy 11 albo 22, więc 3⋅2⋅2=123\cdot2\cdot2=12.

PYTANIE 05

Jaki zapis pasuje?

Który zapis najlepiej opisuje dwa rozłączne przypadki, z których pierwszy ma etapy po 33 i 44 możliwości, a drugi po 22 i 55 możliwości?

A

3+4+2+53+4+2+5

B

3⋅4⋅2⋅53\cdot4\cdot2\cdot5

C

3⋅4+2⋅53\cdot4+2\cdot5

D

(3+4)(2+5)(3+4)(2+5)

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

3⋅4+2⋅53\cdot4+2\cdot5

W każdym przypadku etapy mnożymy, a wyniki przypadków dodajemy: 3⋅4+2⋅53\cdot4+2\cdot5.

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

W zadaniach mieszanych najpierw dziel wyniki na rozłączne przypadki. Wewnątrz jednego przypadku kolejne wybory łączysz mnożeniem, a wyniki różnych przypadków dodawaniem. Przy warunku „co najmniej jeden” często wygodnie policzyć wszystkie wyniki i odjąć dopełnienie.

Zapamiętaj

na końcu sprawdź, czy przypadki nie nakładają się i obejmują wszystkie możliwości