Trójkąty szczególne 30°–60°–90° i 45°–45°–90°

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się korzystać z dwóch trójkątów, które często pojawiają się w zadaniach maturalnych. Najpierw rozpoznasz ich kąty, potem zapamiętasz proporcje boków i użyjesz ich w krótkich rachunkach.

Na start

kąty $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ dają boki $a,a\sqrt{3},2a$

kąty $45^\circ,45^\circ,90^\circ$ dają boki $a,a,a\sqrt{2}$

Po tej lekcji:

rozpoznasz dwa najważniejsze trójkąty szczególne
dobierzesz proporcje boków do kątów
obliczysz brakujące boki bez pełnego rozpisywania Pitagorasa

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Trójkąt $30^\circ-60^\circ-90^\circ$

W tym trójkącie najkrótszy bok leży naprzeciw kąta $30^\circ$ . Przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od najkrótszego boku.

Trójkąt prostokątny 30, 60, 90 stopni z bokami a, a pierwiastek z 3 i 2a.

$a : a\sqrt{3} : 2a$

02WYJAŚNIENIE

Przykład: najkrótszy bok ma $5$

Jeśli bok naprzeciw kąta $30^\circ$ ma długość $5$ , to w proporcji podstawiasz $a=5$ .

$a=5$

$a\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

$2a=10$

03WYJAŚNIENIE

Trójkąt $45^\circ-45^\circ-90^\circ$

Ten trójkąt jest połową kwadratu. Przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$ .

Trójkąt prostokątny 45, 45, 90 stopni z bokami a, a i a pierwiastek z 2.

$a : a : a\sqrt{2}$

04WYJAŚNIENIE

Przykład: przyprostokątna ma $7$

W trójkącie $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ obie przyprostokątne są równe. Jeśli jedna ma długość $7$ , druga też ma długość $7$ .

$a=7$

$a\sqrt{2}=7\sqrt{2}$

Wskazówka

Nie mnożymy obu przyprostokątnych przez pierwiastek z 2. Czynnik pierwiastek z 2 pojawia się przy przeciwprostokątnej.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Trójkąt $30^\circ-60^\circ-90^\circ$

W trójkącie $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ najkrótszy bok ma długość $4$ . Przeciwprostokątna ma długość:

$4\sqrt{3}$

$8$

$8\sqrt{3}$

$12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8$

Przeciwprostokątna ma długość $2a$ , więc $2\cdot 4=8$ .

PYTANIE 02

Trójkąt $45^\circ-45^\circ-90^\circ$

W trójkącie $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ przyprostokątna ma długość $6$ . Przeciwprostokątna ma długość:

$6$

$12$

$6\sqrt{2}$

$6\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$6\sqrt{2}$

W tym trójkącie przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$ .

PYTANIE 03

Dłuższa przyprostokątna

W trójkącie $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ najkrótszy bok ma długość $3$ . Druga przyprostokątna ma długość:

$3$

$3\sqrt{3}$

$6$

$6\sqrt{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3\sqrt{3}$

Dłuższa przyprostokątna ma długość $a\sqrt{3}$ , więc $3\sqrt{3}$ .

NA KONIEC

Dwie proporcje do zapamiętania

W zadaniu najpierw rozpoznaj kąty trójkąta. Potem ustal, który bok odpowiada literze $a$ , i dopiero wtedy podstaw długości do proporcji.

Zapamiętaj

$30^\circ-60^\circ-90^\circ:\quad a:a\sqrt{3}:2a$

$45^\circ-45^\circ-90^\circ:\quad a:a:a\sqrt{2}$

Co będzie w tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Trójkąt 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ30∘−60∘−90∘

Przykład: najkrótszy bok ma 555

Trójkąt 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ45∘−45∘−90∘

Przykład: przyprostokątna ma 777

Teraz Twoja kolej

Trójkąt 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ30∘−60∘−90∘

Trójkąt 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ45∘−45∘−90∘

Dłuższa przyprostokątna

Dwie proporcje do zapamiętania

Trójkąt $30^\circ-60^\circ-90^\circ$

Przykład: najkrótszy bok ma $5$

Trójkąt $45^\circ-45^\circ-90^\circ$

Przykład: przyprostokątna ma $7$

Trójkąt $30^\circ-60^\circ-90^\circ$

Trójkąt $45^\circ-45^\circ-90^\circ$