Przekątne i kąty w graniastosłupach

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Nauczysz się wycinać z graniastosłupa trójkąty prostokątne. Dzięki temu przekątne i kąty w bryle sprowadzisz do Pitagorasa oraz sinusa, cosinusa albo tangensa.

Na start

1. odróżniamy przekątną ściany od przekątnej bryły

2. liczymy przekątną prostopadłościanu

3. dobieramy funkcję trygonometryczną do kąta

Po tej lekcji:

odróżnisz przekątną ściany od przekątnej bryły
użyjesz Pitagorasa w prostopadłościanie
obliczysz funkcje trygonometryczne kąta w bryle

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Przekątna ściany a przekątna bryły

Przekątna ściany leży na jednej ścianie graniastosłupa. Przekątna bryły przechodzi przez wnętrze bryły i łączy przeciwległe wierzchołki.

Prostopadłościan z przekątną ściany i przekątną bryły.

Wskazówka

Jeżeli skośna linia leży na jednej ścianie, to jest przekątną tej ściany, a nie przekątną bryły.

02WYJAŚNIENIE

Przekątna prostokątnej podstawy

Przed liczeniem przekątnej bryły często trzeba policzyć przekątną podstawy. Dla prostokąta o bokach $6$ i $8$ działa twierdzenie Pitagorasa.

$d_p^2=6^2+8^2=100$

$d_p=10$

Zapamiętaj

Przekątna prostokąta o bokach $a$ i $b$ ma długość $\sqrt{a^2+b^2}$ .

03WYJAŚNIENIE

Przekątna prostopadłościanu

Przekątna bryły tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i wysokością prostopadłościanu. Dla wymiarów $3,4,12$ najpierw dostajemy przekątną podstawy $5$ , a potem przekątną bryły $13$ .

Prostopadłościan z przekątną podstawy, przekątną bryły i pomocniczym trójkątem prostokątnym.

$D^2=a^2+b^2+c^2$

$D^2=3^2+4^2+12^2=169$

$D=13$

04WYJAŚNIENIE

Kąt między przekątną bryły a podstawą

Kąt między prostą a płaszczyzną mierzymy między tą prostą i jej rzutem na płaszczyznę. Dla przekątnej bryły rzutem na podstawę jest przekątna podstawy.

Kąt alfa między przekątną bryły a przekątną podstawy oraz trójkąt pomocniczy.

$\tan\alpha=\frac{H}{d_p}$

$\sin\alpha=\frac{H}{D}$

$\cos\alpha=\frac{d_p}{D}$

Zapamiętaj

To nie jest kąt między przekątną bryły a dowolną krawędzią podstawy.

05WYJAŚNIENIE

Przykład z tangensem

Jeśli przekątna podstawy ma długość $8$ , a wysokość bryły $6$ , to dla kąta $\alpha$ między przekątną bryły a podstawą tangens porównuje wysokość z przekątną podstawy.

$\tan\alpha=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Wskazówka

Do mianownika tangensa wpisujesz przyprostokątną przy kącie, czyli $d_p$ , a nie przekątną bryły.

06WYJAŚNIENIE

Kąt na jednej ścianie

Czasem kąt leży na jednej ścianie bocznej, czyli w zwykłym prostokącie. Jeśli ściana ma boki $5$ i $12$ , a kąt jest przy boku $12$ , to pracujesz tylko w tym prostokącie.

$\tan\alpha=\frac{5}{12}$

Zapamiętaj

Jeżeli cały kąt mieści się na jednej ścianie, nie szukaj przekątnej całej bryły.

07WYJAŚNIENIE

Gdy brakuje przekątnej podstawy

Dla podstawy o bokach $9$ i $12$ oraz wysokości $20$ najpierw liczysz przekątną podstawy, potem przekątną bryły i dopiero wtedy sinus kąta.

$d_p^2=9^2+12^2=225$ , więc $d_p=15$

$D^2=15^2+20^2=625$ , więc $D=25$

$\sin\alpha=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Kwadrat przekątnej prostopadłościanu

Prostopadłościan ma wymiary $2,3,6$ . Ile wynosi kwadrat długości jego przekątnej?

$11$

$36$

$49$

$121$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$49$

$D^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49$ .

PYTANIE 02

Przekątna podstawy $5\times12$

Podstawa prostopadłościanu ma boki $5$ i $12$ . Ile wynosi przekątna tej podstawy?

$13$

$17$

$25$

$60$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$13$

$d_p^2=5^2+12^2=169$ , więc $d_p=13$ .

PYTANIE 03

Tangens kąta z podstawą

W prostopadłościanie przekątna podstawy ma długość $9$ , a wysokość wynosi $12$ . Kąt między przekątną bryły a podstawą to $\alpha$ . Ile wynosi $\tan\alpha$ ?

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{9}{15}$

$\frac{12}{15}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{4}{3}$

$\tan\alpha=\frac{H}{d_p}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ .

PYTANIE 04

Wybierz poprawny wzór

W trójkącie wyciętym z prostopadłościanu kąt $\alpha$ leży między przekątną bryły $D$ i przekątną podstawy $d_p$ . Który wzór jest poprawny?

$\sin\alpha=\frac{d_p}{H}$

$\cos\alpha=\frac{H}{D}$

$\tan\alpha=\frac{H}{d_p}$

$\tan\alpha=\frac{D}{H}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\tan\alpha=\frac{H}{d_p}$

Dla tego kąta bok naprzeciw to $H$ , a bok przy kącie to $d_p$ . Dlatego $\tan\alpha=\frac{H}{d_p}$ .

NA KONIEC

Najważniejsze rzeczy

W zadaniach z przekątnymi i kątami szukasz trójkąta prostokątnego. Przekątna ściany leży na jednej ścianie, a przekątna bryły przechodzi przez wnętrze. W prostopadłościanie $D^2=a^2+b^2+c^2$ . Kąt między przekątną bryły a podstawą liczysz w trójkącie z odcinkami $d_p,H,D$ .

Zapamiętaj

$\tan\alpha=\frac{H}{d_p}$

$\sin\alpha=\frac{H}{D}$

$\cos\alpha=\frac{d_p}{D}$

Co będzie w tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Przekątna ściany a przekątna bryły

Przekątna prostokątnej podstawy

Przekątna prostopadłościanu

Kąt między przekątną bryły a podstawą

Przykład z tangensem

Kąt na jednej ścianie

Gdy brakuje przekątnej podstawy

Teraz Twoja kolej

Kwadrat przekątnej prostopadłościanu

Przekątna podstawy 5×125\times125×12

Tangens kąta z podstawą

Wybierz poprawny wzór

Najważniejsze rzeczy

Przekątna podstawy $5\times12$