Wykres i własności funkcji logarytmicznej - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

O czym jest ta lekcja?

Nauczysz się rozumieć funkcję logarytmiczną przez pytanie o wykładnik, a potem przełożysz to na wykres: punkty, asymptotę, dziedzinę i monotoniczność.Na końcu rozpoznasz, jak przesunięcie wewnątrz logarytmu zmienia dziedzinę i położenie pionowej asymptoty.

Po tej lekcji:

rozpoznajesz funkcję logarytmiczną i warunki na jej podstawę
rysujesz wykres funkcji logarytmicznej z kilku pewnych punktów
odczytujesz dziedzinę, zbiór wartości, asymptotę i monotoniczność
ustalasz dziedzinę po przesunięciu wykresu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Logarytm pyta o wykładnik

Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę?

$2^3=8$ więc $\log_2 8=3$

$5^0=1$ więc $\log_5 1=0$

$10^{-2}=\frac{1}{100}$ więc $\log_{10}\frac{1}{100}=-2$

Zapamiętaj

Wartość logarytmu może być ujemna, zerowa albo dodatnia. Ujemny wynik oznacza, że szukana liczba jest ułamkiem właściwym.

02WYJAŚNIENIE

Definicja funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna ma postać $f(x)=\log_a x$ gdzie podstawa spełnia warunki $a>0$ oraz $a\ne 1$

Do logarytmu wolno wstawić tylko liczbę dodatnią, więc dla podstawowej funkcji mamy $x>0$

Podstawa nie może być równa jeden, bo potęgi jedynki nie tworzą różnych wartości.

Wskazówka

W zadaniach o dziedzinę najpierw patrz na wyrażenie wewnątrz logarytmu. To ono musi być dodatnie.

03WYJAŚNIENIE

Punkty wykresu z potęg

Dla funkcji $f(x)=\log_2 x$ wygodnie zacząć od potęg dwójki.

Tabela potęg dwójki i odpowiadające jej punkty wykresu logarytmu o podstawie 2

$2^{-1}=\frac{1}{2}$ daje punkt $\left(\frac{1}{2},-1\right)$

$2^0=1$ daje punkt $(1,0)$

$2^2=4$ daje punkt $(4,2)$

04WYJAŚNIENIE

Punkt stały i asymptota

Każdy wykres funkcji $f(x)=\log_a x$ przechodzi przez punkt $(1,0)$ bo $a^0=1$

Wykres logarytmu z zaznaczonym punktem jeden zero i pionową asymptotą x równe zero

Oś pionowa, czyli prosta $x=0$ , jest asymptotą: wykres zbliża się do niej przy dodatnich argumentach bliskich zeru, ale jej nie przecina, bo zero nie należy do dziedziny.

Zapamiętaj

Wykres zbliża się do osi pionowej, ale jej nie przecina. Pionowa asymptota ma równanie $x=0$

05WYJAŚNIENIE

Dziedzina i zbiór wartości

Argument logarytmu musi być dodatni, więc dziedziną funkcji podstawowej jest $(0,\infty)$

Dla $a>1$ : gdy $x$ zbliża się do zera od prawej, wartości maleją bez ograniczenia; gdy $x$ rośnie bez ograniczenia, wartości rosną bez ograniczenia.

Dla $0<a<1$ kierunki są odwrotne: przy zerze wartości rosną bez ograniczenia, a dla coraz większych argumentów maleją bez ograniczenia.

W obu przypadkach zbiór wartości to $\mathbb{R}$ .

06WYJAŚNIENIE

Kiedy rośnie, a kiedy maleje?

Porównanie wykresu logarytmu rosnącego dla podstawy większej od jeden i malejącego dla podstawy między zero a jeden

Jeśli $a>1$ to funkcja $f(x)=\log_a x$ jest rosnąca.

Jeśli $0<a<1$ to funkcja jest malejąca.

Wskazówka

Oba wykresy przechodzą przez ten sam punkt, ale są nachylone w przeciwnych kierunkach.

07WYJAŚNIENIE

Przesunięcie zmienia dziedzinę

W funkcji $g(x)=\log_2(x-3)$ dodatni musi być cały argument $x-3$

Wykres logarytmu przesunięty w prawo o trzy jednostki z asymptotą x równe trzy