Funkcja logarytmiczna w zadaniach praktycznych - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

O czym jest ta lekcja?

Zobaczysz, po co logarytmy pojawiają się w zadaniach praktycznych: opisują liczbę kroków przy stałym mnożeniu albo poziom na skali, na której kolejne stopnie oznaczają wielokrotną zmianę.Będziemy liczyć podwojenia, porównywać poziomy skali dziesiętnej i korzystać z gotowego wzoru logarytmicznego.

Po tej lekcji:

rozumiesz logarytm jako liczbę powtórzeń mnożenia
porównujesz wielkości zapisane na skali logarytmicznej
korzystasz z prostych modeli logarytmicznych
sprawdzasz, czy wynik ma sens w kontekście zadania

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Logarytm liczy kroki mnożenia

Jeśli wielkość za każdym razem mnożymy przez tę samą liczbę, logarytm mówi, ile takich kroków wykonano.

Schemat kolejnych podwojeń od 1 do 16 oraz logarytm o podstawie 2 jako liczba kroków

Od $1$ do $16$ są cztery podwojenia.

$\log_2 16=4$

Zapamiętaj

Podstawa logarytmu odpowiada stałemu mnożnikowi.

02WYJAŚNIENIE

Przykład: wzrost przez podwajanie

Populacja bakterii wzrosła z $500$ do $4000$ i za każdym razem się podwajała.

Najpierw porównujemy końcową wielkość z początkową: $\frac{4000}{500}=8$

Pytamy, ile podwojeń daje mnożnik $8$ : $\log_2 8=3$

Wykonano trzy kroki wzrostu.

03WYJAŚNIENIE

Skala logarytmiczna

Na skali logarytmicznej o podstawie $10$ każdy kolejny poziom oznacza dziesięć razy większą wielkość.

$\log_{10} 1=0$

$\log_{10} 10=1$

$\log_{10} 1000=3$

04WYJAŚNIENIE

Różnica poziomów to iloraz wielkości

Jeśli poziomy na skali dziesiętnej różnią się o $3$ to większa wielkość jest $10^3$ razy większa.

Jeśli $S_1=\log_{10}A$ i $S_2=\log_{10}B$ , to $\frac BA=10^{S_2-S_1}$ .

Wielkość odpowiadająca poziomowi $5$ jest $10^{5-2}=1000$ razy większa od wielkości odpowiadającej poziomowi $2$ . Same poziomy różnią się o $3$ .

Wskazówka

Na takiej skali nie odejmujemy samych wielkości. Różnica poziomów zamienia się w mnożnik.

05WYJAŚNIENIE

Gotowy model logarytmiczny

W zadaniu może pojawić się gotowy wzór, na przykład $L=10\log_{10}\frac{I}{I_0}$ . Jeśli badana wielkość jest sto razy większa od odniesienia, obliczamy wartość $L$ .

Najpierw obliczamy iloraz $\frac{I}{I_0}$ czyli ile razy badana wielkość jest większa od odniesienia.

Jeśli $\frac{I}{I_0}=100$ to $L=10\log_{10}100=20$

Zapamiętaj

Najczęstszy błąd to podstawienie samego $I$ zamiast ilorazu $\frac{I}{I_0}$

06WYJAŚNIENIE

Ujemny logarytm też ma sens

Jeśli argument logarytmu jest dodatni, ale mniejszy od $1$ to logarytm przy podstawie większej od $1$ jest ujemny.

$\log_{10}\frac{1}{10}=-1$

$\log_2\frac{1}{8}=-3$

Taki wynik oznacza cofnięcie się o kilka kroków mnożenia, czyli dzielenie przez tę samą podstawę.

07WYJAŚNIENIE

Spadek o połowę

Logarytm pomaga też policzyć liczbę kroków zaniku, gdy wielkość za każdym razem dzieli się przez $2$

Schemat spadku masy o połowę od 80 do 10 w trzech krokach

Masa spadła z $80$ do $10$ czyli końcowa masa jest $\frac{1}{8}$ początkowej.

$\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$

Minęły trzy okresy połowicznego zaniku.

08WYJAŚNIENIE

Kontrola sensu odpowiedzi

$100$

$10000$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$30$

Logarytm dziesiętny z 1000 wynosi 3, a 10 razy 3 daje 30.

NA KONIEC

Najważniejsze wnioski

W zadaniach praktycznych logarytm najczęściej zamienia mnożenie wykonywane wiele razy na liczbę kroków. Przy skali dziesiętnej różnica poziomów $d$ oznacza iloraz wielkości $10^d$ W gotowych wzorach najpierw sprawdź argument logarytmu i dopiero potem licz wartość modelu.