Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Trygonometria · LEKCJA 2 Z 3

Tożsamość sin²α + cos²α = 1

Obliczanie brakującego sinusa albo cosinusa

◷ 16 minPoziom: podstawowy6 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Po co ta tożsamość?

Tożsamość sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 pozwala obliczać brakującą wartość, gdy znasz sinus albo cosinus. Po pierwiastkowaniu musisz jeszcze dobrać znak.

Na start

sin⁡2α=(sin⁡α)2\sin^2\alpha=(\sin\alpha)^2

sinus w przedziale 0∘≤α≤180∘0^\circ\le\alpha\le180^\circ jest nieujemny

cosinus kąta rozwartego jest ujemny

Po tej lekcji:
  • zastosujesz tożsamość sin²α + cos²α = 1
  • obliczysz cosinus z sinusa i sinus z cosinusa
  • dobierzesz znak wyniku z położenia kąta
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Skąd bierze się wzór?

Na półokręgu jednostkowym punkt ma współrzędne (cos⁡α,sin⁡α)(\cos\alpha,\sin\alpha) i odległość 11 od środka. Dla kąta ostrego lub rozwartego rzut na oś poziomą tworzy trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych ∣cos⁡α∣|\cos\alpha| i sin⁡α\sin\alpha. Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy sumę kwadratów równą 11. Dla kątów 0∘0^\circ, 90∘90^\circ i 180∘180^\circ sprawdzamy wzór bezpośrednio z wartości na osiach.

Półokrąg jednostkowy z trójkątem prostokątnym o bokach cosinus alfa, sinus alfa i promieniu jeden.
Półokrąg jednostkowy z trójkątem prostokątnym o bokach cosinus alfa, sinus alfa i promieniu jeden.

(cos⁡α)2+(sin⁡α)2=12(\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2=1^2

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

02WYJAŚNIENIE

Co oznacza sin⁡2α\sin^2\alpha?

Zapis sin⁡2α\sin^2\alpha oznacza kwadrat całej wartości sin⁡α\sin\alpha. To nie jest sinus kąta 2α2\alpha.

sin⁡2α=(sin⁡α)2\sin^2\alpha=(\sin\alpha)^2

(35)2=925\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}

Wskazówka

sin⁡2α≠sin⁡(2α)\sin^2\alpha\ne\sin(2\alpha)

03WYJAŚNIENIE

Cosinus z sinusa

Jeśli sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5}, to z tożsamości obliczasz najpierw kwadrat cosinusa. Znak wybierasz dopiero z informacji o kącie.

(35)2+cos⁡2α=1\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1

cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}

cos⁡α=45 albo −45\cos\alpha=\frac{4}{5}\ \text{albo}\ -\frac{4}{5}

Dla kąta ostrego wybierasz 45\frac{4}{5}.

04WYJAŚNIENIE

Ten sam sinus, inny znak cosinusa

Dla kąta rozwartego sinus nadal może być równy 35\frac{3}{5}, ale cosinus musi być ujemny.

Porównanie kąta ostrego i rozwartego z tym samym sinusem oraz przeciwnym znakiem cosinusa.
Porównanie kąta ostrego i rozwartego z tym samym sinusem oraz przeciwnym znakiem cosinusa.

cos⁡2α=1625⇒cos⁡α=±45\cos^2\alpha=\frac{16}{25}\Rightarrow \cos\alpha=\pm\frac{4}{5}

Kąt rozwarty: cos⁡α<0\cos\alpha<0, więc cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac{4}{5}.

Wskazówka

Kwadrat nie pamięta znaku. Znak bierzesz z położenia kąta.

05WYJAŚNIENIE

Sinus z cosinusa

Jeśli cos⁡α=−725\cos\alpha=-\frac{7}{25} i 0∘≤α≤180∘0^\circ\le\alpha\le180^\circ, sinus wybierasz jako dodatni pierwiastek.

sin⁡2α+(−725)2=1\sin^2\alpha+\left(-\frac{7}{25}\right)^2=1

sin⁡2α=1−49625=576625\sin^2\alpha=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}

sin⁡α=2425\sin\alpha=\frac{24}{25}

06WYJAŚNIENIE

Upraszczanie wyrażeń

Gdy w wyrażeniu pojawia się razem sin⁡2α\sin^2\alpha i cos⁡2α\cos^2\alpha, szukaj sumy równej 11.

3sin⁡2α+3cos⁡2α+2=3(sin⁡2α+cos⁡2α)+23\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha+2=3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2

3⋅1+2=53\cdot1+2=5

Wskazówka

Najpierw wyłącz wspólny czynnik, dopiero potem użyj tożsamości.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Cosinus kąta ostrego

Jeśli sin⁡α=513\sin\alpha=\frac{5}{13} i α\alpha jest ostry, to cos⁡α\cos\alpha wynosi:

A

1213\frac{12}{13}

B

−1213-\frac{12}{13}

C

813\frac{8}{13}

D

25169\frac{25}{169}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

1213\frac{12}{13}

cos⁡2α=1−25169=144169\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}, więc dla kąta ostrego cos⁡α=1213\cos\alpha=\frac{12}{13}.

PYTANIE 02

Cosinus kąta rozwartego

Jeśli sin⁡α=513\sin\alpha=\frac{5}{13} i α\alpha jest rozwarty, to cos⁡α\cos\alpha wynosi:

A

1213\frac{12}{13}

B

−1213-\frac{12}{13}

C

512\frac{5}{12}

D

−512-\frac{5}{12}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

−1213-\frac{12}{13}

Kwadrat cosinusa wynosi 144169\frac{144}{169}, ale dla kąta rozwartego cos⁡α<0\cos\alpha<0.

PYTANIE 03

Uprość wyrażenie

Wyrażenie 7sin⁡2α+7cos⁡2α7\sin^2\alpha+7\cos^2\alpha jest równe:

A

00

B

11

C

77

D

1414

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

77

7sin⁡2α+7cos⁡2α=7(sin⁡2α+cos⁡2α)=77\sin^2\alpha+7\cos^2\alpha=7(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=7.

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Tożsamość sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 pozwala obliczać brakujący sinus albo cosinus. Po pierwiastkowaniu znak wybierasz z położenia kąta.

Zapamiętaj

sin⁡2α=(sin⁡α)2\sin^2\alpha=(\sin\alpha)^2

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny