Twierdzenie sinusów

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się używać twierdzenia sinusów, gdy w trójkącie pojawia się para: bok i kąt naprzeciw tego boku. Najpierw oznaczysz pary naprzeciw siebie, potem dobierzesz proporcję i użyjesz jej do obliczania boku albo kąta.

Na start

Twierdzenie sinusów łączy bok z sinusem kąta leżącego naprzeciw tego boku.

Do obliczeń wybierasz zwykle dwie pary z całego wzoru.

Jeśli brakuje kąta, często najpierw używasz sumy kątów trójkąta.

Po tej lekcji:

rozpoznasz pary bok-kąt leżące naprzeciw siebie
zapiszesz właściwą proporcję z twierdzenia sinusów
obliczysz brakujący bok albo kąt trójkąta

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Bok i kąt naprzeciw siebie

W trójkącie bok oznaczony małą literą leży naprzeciw kąta oznaczonego tą samą literą grecką. Bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$ , bok $b$ naprzeciw $\beta$ , a bok $c$ naprzeciw $\gamma$ .

Trójkąt z oznaczonymi parami: bok a i kąt alfa, bok b i kąt beta, bok c i kąt gamma.

$a\leftrightarrow\alpha$

$b\leftrightarrow\beta$

$c\leftrightarrow\gamma$

Wskazówka

W twierdzeniu sinusów nie łączymy boku z kątem przy tym boku. Liczy się kąt po drugiej stronie trójkąta.

02WYJAŚNIENIE

Wzór twierdzenia sinusów

Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciw tego boku jest taki sam dla wszystkich trzech par.

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

Bok $a$ łączymy z $\sin\alpha$ .

Bok $b$ łączymy z $\sin\beta$ .

Bok $c$ łączymy z $\sin\gamma$ .

Samo ustawienie proporcji

W trójkącie $a=10$ , $\alpha=30^\circ$ , $\beta=45^\circ$ . Zapisz proporcję, która pozwala obliczyć bok $b$ .

Rozwiązanie

Bok $a$ tworzy parę z kątem $\alpha$ , a bok $b$ z kątem $\beta$ . Używamy więc $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$ , czyli $\frac{10}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin45^\circ}$ .

Wskazówka

Błędny zapis $\frac{a}{\sin\beta}$ miesza bok z nie swoim kątem.

03WYJAŚNIENIE

Obliczanie boku

Gdy znasz jedną pełną parę bok-kąt i drugi kąt, możesz obliczyć bok naprzeciw tego drugiego kąta. Większemu kątowi w trójkącie odpowiada dłuższy bok, więc wynik warto sprawdzić także geometrycznie.

Trójkąt z bokiem a równym osiem naprzeciw kąta trzydzieści stopni i szukanym bokiem b naprzeciw kąta sześćdziesiąt stopni.

Bok naprzeciw większego kąta

W trójkącie $a=8$ , $\alpha=30^\circ$ , $\beta=60^\circ$ . Oblicz bok $b$ .

Rozwiązanie

Z par $a,\alpha$ oraz $b,\beta$ zapisujemy $\frac{8}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin60^\circ}$ . Ponieważ $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ i $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ , mamy $\frac{8}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt3}{2}}$ . Lewa strona to $16$ , więc $b=16\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3$ .

Zapamiętaj

Bok naprzeciw $60^\circ$ wyszedł dłuższy niż bok naprzeciw $30^\circ$ , więc wynik pasuje do trójkąta.

04WYJAŚNIENIE

Proporcja może być odwrócona

Możesz zapisać twierdzenie sinusów z bokiem w liczniku albo z sinusem w liczniku. Ważne, żeby po obu stronach zachować ten sam układ. Gdybyśmy szukali samego kąta, sinus $\frac12$ dawałby kandydatów $30^\circ$ i $150^\circ$ . Tutaj $\alpha=45^\circ$ , więc drugi kandydat odpada: suma dwóch kątów przekroczyłaby $180^\circ$ . Zostaje $\beta=30^\circ$ .

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$

$\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}$

Szukamy sinusa kąta

W trójkącie $a=6$ , $\alpha=45^\circ$ , $b=3\sqrt2$ . Oblicz $\sin\beta$ .

Rozwiązanie

Wygodnie użyć postaci $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}$ . Podstawiamy $\frac{\sin45^\circ}{6}=\frac{\sin\beta}{3\sqrt2}$ . Ponieważ $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ , dostajemy $\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{6}=\frac{\sin\beta}{3\sqrt2}$ . Lewa strona to $\frac{\sqrt2}{12}$ , więc $\sin\beta=3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{12}=\frac{1}{2}$ .

Wskazówka

Jeśli szukasz sinusa kąta, zapis z sinusem w liczniku zwykle daje krótszy rachunek.

05WYJAŚNIENIE

Najpierw brakujący kąt

Czasem przed użyciem twierdzenia sinusów trzeba obliczyć trzeci kąt. W każdym trójkącie suma miar kątów wynosi $180^\circ$ .

Trójkąt z kątami czterdzieści stopni i osiemdziesiąt stopni oraz obliczonym kątem sześćdziesiąt stopni.

$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$

Trzeci kąt przed proporcją

W trójkącie $\alpha=40^\circ$ , $\beta=80^\circ$ , $a=6$ . Zapisz wzór na bok $c$ .

Rozwiązanie

Najpierw $\gamma=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ$ . Bok $a$ leży naprzeciw $\alpha$ , a bok $c$ naprzeciw $\gamma$ . Z twierdzenia sinusów: $\frac{6}{\sin40^\circ}=\frac{c}{\sin60^\circ}$ , więc $c=\frac{6\sin60^\circ}{\sin40^\circ}$ .

Wskazówka

Nie podstawiaj do twierdzenia sinusów kąta, którego jeszcze nie znasz. Najpierw wykorzystaj sumę kątów.

06WYJAŚNIENIE

Kiedy użyć twierdzenia sinusów?

Twierdzenie sinusów jest dobrym wyborem, gdy masz pełną parę: bok i kąt naprzeciw niego. Jeśli nie masz żadnej takiej pary, zwykle trzeba wybrać inną metodę.

Dwa trójkąty porównujące sytuację z pełną parą bok-kąt i sytuację bez pełnej pary.

Użyj twierdzenia sinusów, gdy znasz bok i kąt naprzeciw niego.

Użyj go, gdy szukasz boku naprzeciw znanego kąta.

Użyj go, gdy szukasz sinusa kąta naprzeciw znanego boku.

Nie zaczynaj od niego, jeśli masz tylko trzy boki albo dwa boki i kąt między nimi.

Zapamiętaj

Hasło kontrolne: pełna para naprzeciw siebie.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

W standardowym oznaczeniu trójkąta bok $a$ leży naprzeciw kąta:

$\alpha$

$\beta$

$\gamma$

dowolnego kąta

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\alpha$

Bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$ .

PYTANIE 02

Który zapis jest poprawną częścią twierdzenia sinusów?

Boki $a$ i $b$ leżą naprzeciw kątów $\alpha$ i $\beta$ . Który zapis jest poprawną częścią twierdzenia sinusów?

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$

$\frac{a}{\sin\beta}=\frac{b}{\sin\alpha}$

$\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\cos\beta}$

$a^2=b^2+c^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$ poprawnie łączy pary $a,\alpha$ oraz $b,\beta$ .

PYTANIE 03

W trójkącie $a=10$ , $\alpha=30^\circ$ , $\beta=60^\circ$ . Bok $b$ wynosi:

$5$

$10\sqrt3$

$5\sqrt3$

$20$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$10\sqrt3$

$\frac{10}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin60^\circ}$ , więc $\frac{10}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt3}{2}}$ . Stąd $20=\frac{b}{\frac{\sqrt3}{2}}$ , czyli $b=10\sqrt3$ .

PYTANIE 04

W trójkącie $\alpha=50^\circ$ , $\beta=70^\circ$ . Kąt $\gamma$ ma miarę:

$40^\circ$

$50^\circ$

$60^\circ$

$70^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$60^\circ$

$\gamma=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$ .

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie

Twierdzenie sinusów stosuj wtedy, gdy widzisz parę bok-kąt leżącą naprzeciw siebie. Najpierw oznacz pary, potem wybierz dwie części proporcji i dopiero wtedy licz.

Zapamiętaj

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

Pełna para naprzeciw siebie jest sygnałem, że twierdzenie sinusów może pasować.

$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Bok i kąt naprzeciw siebie

Wzór twierdzenia sinusów

Obliczanie boku

Proporcja może być odwrócona

Najpierw brakujący kąt

Kiedy użyć twierdzenia sinusów?

Teraz Twoja kolej

W standardowym oznaczeniu trójkąta bok aaa leży naprzeciw kąta:

Który zapis jest poprawną częścią twierdzenia sinusów?

W trójkącie a=10a=10a=10, α=30∘\alpha=30^\circα=30∘, β=60∘\beta=60^\circβ=60∘. Bok bbb wynosi:

W trójkącie α=50∘\alpha=50^\circα=50∘, β=70∘\beta=70^\circβ=70∘. Kąt γ\gammaγ ma miarę:

Najkrótsze podsumowanie

W standardowym oznaczeniu trójkąta bok $a$ leży naprzeciw kąta:

W trójkącie $a=10$ , $\alpha=30^\circ$ , $\beta=60^\circ$ . Bok $b$ wynosi:

W trójkącie $\alpha=50^\circ$ , $\beta=70^\circ$ . Kąt $\gamma$ ma miarę: